Κυριακή, 24 Ιανουαρίου 2021

Μικρή, αλλά “φαρμακερή” άσκηση

 Δίδεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.

Στο εσωτερικό του τετραγώνου κατασκευάζουμε δύο γωνίες ΟΓΔ και ΟΔΓ ίσες με 15ο η κάθε μία.

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο.

(για τη φουκαριάρα τη Γεωμετρία ο λόγος, που έχει, κάπως, πέσει στα αζήτητα τελευταία…)

                  συνέχεια...

2 σχόλια:

  1. 1967...
    Καλοκαίρι, δύο μήνες, όλο κι όλο Φροντιστήριο στην Αθήνα, για Ακαδημαϊκό Απολυτήριο, εγώ ο επαρχιώτης από τα Βάτικα Λακωνίας, ναι, μάλιστα 19,5 Απολυτήριο στη Γ Λυκείου, αλλά από Κλασσικό Σχολείο, ρε, φίλε, πάρα πολύ καλό Σχολείο, ναι, δύσκολο, αυστηρότατο, αλλά Κλασσικό, πώς θα γίνεις Φυσικός, ρε, φίλε;
    Αθήνα, οδός Μπενάκη, Φροντιστήριο “Φιλίππου-Γούναρη” (Παύλος Φιλίππου, εξαιρετικός Μαθηματικός, Νίκος Γούναρης εξαιρετικός Φυσικός, μουσειακά βιβλία),
    λέει, λίγο πριν το τέλος, που θα φεύγαμε για Πάτρα για τις εξετάσεις, όλοι οι Πελοποννήσιοι εκεί δίναμε εξετάσεις,
    έχουμε δίωρο κολλητό Γεωμετρίας, είναι ο Σπύρος ο Δεληβοριάς εξαιρετικός και αγαπημένος Γεωμέτρης, που δυστυχώς, “έφυγε” πολύ νωρίς: “10 χρόνια βάζω αυτήν την άσκηση, αλλά δεν, κανένας, τίποτα...,
    αν, πάντως, κάποιος τη λύσει μέχρι το τέλος του δίωρου θα του πληρώσω εγώ τα μισά δίδακτρα”
    τα δίδακτρα ήταν 1500 δραχμές
    ε, ναι, πλήρωσα 750 δραχμές!
    δεν το ξέχασα ποτέ, Δάσκαλε Σπύρο,
    διότι ήμουν πάμφτωχος ...
    την άλλη μέρα θα πήγαινα Πάτρα,
    με φίλησε, ο Σπύρος ο Δεληβοριάς, ο Δάσκαλος, ο Γεωμέτρης,
    και θυμάμαι τί μου είπε: “καλή σου επιτυχία, Βαγγέλη, και καλή μου επιτυχία ταυτόχρονα”
    μερικά χρόνια μετά, προσπάθησα να γίνω Δάσκαλος σαν κι αυτόν,
    οι μαθητές μου θα κρίνουν,
    μακάρι αν τα κατάφερα…
    (για την ιστορία, έδωσα τότε την πρώτη απάντηση)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Συγκινητική ιστορία! Μια απόδειξη που δεν απαιτεί νέο σχήμα:

    Το Ο ανήκει στην κοινή μεσοκάθετο των τμημάτων ΓΔ και ΑΒ και άρα ΑΟ= ΒΟ.
    Άρα το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές (με ΟΑΒ = ΟΒΑ = φ). Για να δείξω ότι είναι ισόπλευρο, αρκεί να δείξω ότι φ = 60.
    Τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΒΟΔ είναι ίσα γιατί έχουν 3 πλευρές ίσες (ΑΓ=ΒΔ, ΑΟ=ΒΟ και ΓΟ= ΔΟ). Άρα για τη γωνία ΑΟΓ ισχύει ΑΟΓ = ΒΟΔ = ω.
    Αρκεί να δείξω ότι ω = 75 (διότι τότε η γωνία ΟΒΔ = 30 και θα είναι 90-φ = 30 και άρα φ = 60).

    Έστω ότι ω > 75.
    Τότε για το τρίγωνο ΟΒΔ ισχύει ΒΔ > ΒΟ (σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες γωνίες, βρίσκονται αντίστοιχα άνισες πλευρές) δηλαδή α > ΒΟ.
    Επίσης, στο σημείο Ο έχουμε (αφού οι 4 γωνίες έχουν άθροισμα 360) ότι η γωνία ΑΟΒ < 60.
    Έτσι, για το τρίγωνο ΑΟΒ ισχύει ότι η γωνία φ > 60 και άρα ΑΟΒ < φ. Έτσι, για τις αντίστοιχες απέναντι πλευρές έχουμε ΑΒ < ΒΟ δηλαδή α < ΒΟ. Άτοπο.

    Έστω ότι ω < 75.
    Τότε για το τρίγωνο ΟΒΔ ισχύει ΒΔ < ΒΟ (σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες γωνίες, βρίσκονται αντίστοιχα άνισες πλευρές) δηλαδή α < ΒΟ.
    Επίσης, στο σημείο Ο έχουμε (αφού οι 4 γωνίες έχουν άθροισμα 360) ότι η γωνία ΑΟΒ > 60.
    Έτσι, για το τρίγωνο ΑΟΒ ισχύει ότι η γωνία φ < 60 και άρα ΑΟΒ > φ. Έτσι, για τις αντίστοιχες απέναντι πλευρές έχουμε ΑΒ > ΒΟ δηλαδή α > ΒΟ. Άτοπο.

    Άρα ω = 75. Όπερ έδει δείξαι.

    Διονύσης Σκιάς

    ΑπάντησηΔιαγραφή